נולד ב-22 במאי 1909 בדונאייווצי, פודוליה (באותה תקופה - באימפריה הרוסית). בשנת 1919  עלה לארץ עם משפחתו באוניה 'רוסלאן', שסימנה את תחילת העליה השלישית. המשפחה נדדה מתל-אביב לירושלים וחזרה ואריה נבון למד בגמנסיה העברית בירושלים ובתל אביב. למרות ששני אחיו הגדולים למדו אמנות בבית הספר 'בצלאל' ועסקו בתחום, נשלח על ידי הוריו, ובניגוד לרצונו, ללמוד בבית ספר למסחר 'גאולה'. לאחר מכן למד בשנים 1930-1928 בסטודיו של הצייר יצחק פרנקל. החל לפרסם קריקטורות בעיתוני הומור ומשנת 1928 גם בעיתון 'דואר היום' של איתמר בן אב"י.

בשנת 1933 התקבל לעבודה בעיתון 'דבר' על ידי ברל כצנלסון, ובכך היה לקריקטוריסט הראשון שהועסק במשרה מלאה בעיתונות העברית. בשנים 1964-1933 היה  הקריקטוריסט הקבוע של  'דבר' ופרסם מדי יום קריקטורות בענייני השעה שהתאפיינו בסגנון יחודי ומינימליסטי. באמצעות מספר מועט של קווים דקים, נקיים ומלאי חיים הצליח לאפיין את הדמויות המרכזיות של תקופתו, ליצור אווירה, להביע רעיונות ולמצות מצבים. לצד הקריקטורות החברתיות והפוליטיות נהג לפרסם גם קריקטורות של אישים מעולם הפוליטיקה, הספרות ושחקני תיאטרון בהצגותיהם. הקריקטורות שלו זכו להצלחה גדולה והיו מהחלקים האהודים בעיתון.

בשנת 1934 נסע ללימודים באקדמיה לציור בפריז, ומשם שלח ל'דבר' רישומים המתארים את העיר וחיי היהודים בה. בתקופת מלחמת העולם השניה נעשו איוריו קודרים יותר, ופורסמו רק פעם בשבוע, בימי שישי. לאחר המלחמה, בימי המאבק בבריטים, נעשו הקריקטורות חריפות יותר, והצנזורה הבריטית פסלה רבות מהן, ופעם אחת אף סגרה את העיתון בשל אחת מהן. במהלך השנים פרסם קריקטורות בעיתונים נוספים ('אשמורת', 'דבר השבוע',  'תשע בערב' ועוד) וכן הוציא לאור שבעה קבצי קריקטורות: 'שחור על גבי לבן' (1938), 'גלויות מן העמק' (1942), 'בחזית ובעורף' (1945), 'עד כאן' (1948), 'אלפיים שנה ושנה: אין זו אגדה ב-5 פרקים' (1949), 'מר ישראל' (1956), 'אני בן עשר' (1958).

בשנת 1934 החל לפרסם במוסף לילדים של 'דבר', סיפורי קומיקס וסדרות קומיקס. בשנת 1936 הפך המוסף לעיתון עצמאי בשם 'דבר לילדים'. סדרות הקומיקס של נבון המשיכו להתפרסם מדי שבוע בעמודו האחרון של העיתון והאחרונה בהן הופיעה בשנת 1957. הסדרות, שרבות נחרזו בידי המשוררת לאה גולדברג, זכו להצלחה רבה בקרב הילדים. הידועה בסדרות אלה היא 'אורי מורי' שפרקים רבים ממנה התפרסמו במהלך השנים. סדרות נוספות הן: 'אורי כדורי' (1936), 'גדי גד בעולם הפוך' (1938), 'רב קיסם' (1939) ועוד. בשנות ה-80 התפרסמה בהוצאת ספרית פועלים סדרת 'ספרי אורי מורי', שבה כינס אריה נבון מבחר מיצירות הקומיקס שלו ושל לאה גולדברג. שלושה ספרים יצאו בסדרה: 'אורי כדורי' (1983), 'החמור החכם ועוד  חיות' (1986) ו'האפרוח בילבולמח' (1997).

אריה נבון היה גם מאייר ידוע של ספרי ילדים. בשנת 1932 יצא הספר הראשון שאייר, 'חוכמת הבהמות' מאת אביגדור המאירי. במהלך השנים אייר למעלה מ-50 ספרים, ביניהם ספרים של לאה גולדברג, נתן אלתרמן, אברהם שלונסקי, אביגדור המאירי, ש"י עגנון, משה שמיר, אהרן מגד, חיים חפר, וסיפורים מהמקרא.

בשנת 1934 אייר אריה נבון את סרט ההנפשה העברי הראשון, 'הרפתקאותיו של גדי בן סוסי', סרט  אילם בשחור-לבן באורך עשר דקות, אותו הפיקו וצילמו האחים ברוך ויצחק אגדתי וכתב אביגדור המאירי. בשנת 1956 יצרו בפריז התסריטאי איצ'ה ממבוש והצייר יעקב אגם סרט קצר שהיה מבוסס על רישומיו של נבון בשם 'דרך זמר במדבר'. 

בשנת 1948 החל אריה נבון לעצב תפאורות ותלבושות להצגות תיאטרון. בתחילה עיצב את התפאורה להצגה 'הוא הלך בשדות' של משה שמיר, ואחרי כן עיצב תפאורות ותלבושות עבור יותר מ-150 הצגות נוספות. משנת 1964 הקדיש את עיקר זמנו לתחום זה. היתה לו משרה קבועה בתיאטרון 'הקאמרי' ומדי פעם עבד עבור תיאטראות אחרים, ביניהם: 'הבימה', 'המטאטא', 'החמאם', 'סמבטיון', 'בימות', התיאטרון העירוני חיפה ותיאטרון גיורא גודיק. בין ההצגות שעבורן עיצב תפאורה: 'רומיאו ויוליה', 'פונדק הרוחות', 'שלמה המלך ושלמי הסנדלר', 'כטוב בעיניכם', 'השחף', 'קזבלן' ועוד.

אריה נבון צייר מאות רבות של ציורים, ברובם רישומים בדיו או בפחם, וכן עשרות דיוקנאות של אנשי ציבור, סופרים, שחקנים ואמנים. מבחר מהם מופיע בספר 'רישומים' (1982). הוא לימד רישום ב'מכון אבני' וב'סמינר אורנים' והשתתף בתערוכות רבות בארץ ובעולם, ביניהן: תערוכה קבוצתית ב'בצלאל' בירושלים (1943), תערוכת 'אופקים חדשים' במוזיאון תל-אביב לאמנות (1954), תערוכה קבוצתית ב'בצלאל' בירושלים ותערוכת קריקטורות במוזיאון לאמנות חדשה בחיפה (1959), תערוכת רישומי תיאטרון בניו-יורק (1969), תערוכת יחיד של קריקטורות ואיורים במוזיאון ישראל בירושלים (1978), תערוכת רישומי תיאטרון בביתן הלנה רובינשטיין במוזיאון תל-אביב (1979), תערוכת יחיד של עבודות לתיאטרון במוזיאון הפתוח בתפן (1993).

במהלך השנים זכה אריה נבון בפרסים רבים על פעלו בתחומים השונים: פרס דיזנגוף לציור (1939), פרס ירושלמי לציור (1941, 1944), פרס סוקולוב לעתונות על עבודתו כקריקטוריסט (1958), פרס גביע לפיד לעיצוב תפאורה מטעם 'מעריב' (1960), פרס כינור דוד לאמנות התיאטרון מטעם 'ידיעות אחרונות' (1966), פרס המועצה לתרבות ולאמנות על עיצוב תפאורות (1972), פרס מאיר מרגלית לתיאטרון (1978), פרס ישראל לאמנויות הבמה (1996), פרס בן-יצחק לאיור מעולה וציון לשבח על איור הספר 'אורי כדורי'.

בשנת 1996, זמן קצר מאוד לפני פטירתו, פירסם את ספרו האוטוביוגראפי 'בקו ובכתב: פרקי חיים ורישומים', שבו שילב רישומים שונים עם פרקי זיכרונות ואנקדוטות שונות מחייו ועל האישים השונים שהכיר. באותה שנה גם זכה בפרס ישראל לאמנויות הבמה. נפטר ב-29 בנובמבר 1996.