נולדה ב-17 ביולי 1921 בבודפשט שבהונגריה למשפחה אמידה ומתבוללת. אביה, בלה סנש, שהיה עיתונאי סופר ילדים ומחזאי מפורסם, נפטר כשהייתה בת שש. אמה קתרינה סנש היתה מורה למוזיקה. היא למדה בבתי ספר הונגריים ומילדות הפגינה כישרון ספרותי.  בעקבות גילויי האנטישמיות בהונגריה, הפכה ציונית בשנת לימודיה האחרונה בתיכון, החלה ללמוד עברית, לקרוא על יהדות, ציונות וארץ ישראל והצטרפה לתנועת נוער ציונית.

בספטמבר 1939, לאחר שסיימה את לימודיה בהצטיינות, עלתה לארץ-ישראל. בתחילה למדה שנתיים בבית הספר החקלאי לבנות בנהלל. בדצמבר 1941 הצטרפה לקיבוץ שדות ים, שהוקם שנה וחצי קודם לכן בסמוך לקיסריה. היא עבדה במטבח ובמכבסה, המשיכה לכתוב ובין השאר חיברה שירים ומחזה על החיים בקיבוץ.

במהלך מלחמת העולם השניה, כשהחלו להגיע לארץ ישראל ידיעות על המתרחש באירופה, גברה דאגתה לאמה שנותרה בהונגריה. היא כתבה ביומנה: 'קם בי איזה רעיון פתאומי שאני צריכה לנסוע להונגריה, להיות שם בימים אלו. לתת יד לארגון עליית נוער ואולי אף להביא את אמא. ככל שידעתי את האבסורד שברעיון, הוא נראה לי בכל זאת אפשרי והכרחי, וחשבתי לקום ולעשות'.

כשנודע לה מחבר פלמ"ח כי מתארגנת משלחת הצלה ליהודי אירופה, התנדבה מייד לשליחות. בשנת 1943 התגייסה לפלמ"ח, ממנו לצבא הבריטי, והצטרפה לקבוצת צנחני הישוב, שהוקמה בשיתוף פעולה של ה'הגנה' והבריטים. משימתם  של חברי הקבוצה היתה לצנוח מעבר לקווי הצבא הגרמני באירופה הכבושה, לסייע  למאמץ המלחמתי הבריטי ובמקביל לפעול להצלת יהודים. במרץ 1944, בתום תקופה של אימונים בארץ ישראל ובמצרים, צנחה חנה סנש ביוגוסלביה, באזור שבשליטת הפרטיזנים. ב-9 ביוני 1944 חצתה את הגבול להונגריה ותוך זמן קצר נתפסה על ידי חיילים הונגרים כשהיא נושאת מכשיר אלחוט. היא נשלחה לכלא בבודפשט ונחקרה בעינויים קשים, במטרה לקבל ממנה מידע  על שיחותה ועל הקודים הסודיים של מכשיר האלחוט. היא עמדה בסירובה לשתף פעולה עם חוקריה למרות שגם אמה נעצרה, נחקרה והיתה נתונה בסכנה.

ב-28 באוקטובר 1944 הועמדה חנה סנש למשפט באשמת ריגול ובגידה במולדתה הונגריה. במשפט הודתה רק שבאה להציל יהודים והטיחה דברים קשים בשופטים ההונגרים המשתפים פעולה עם הכובש הנאצי. ב-7 בנובמבר 1947, בטרם הסתיים משפטה, הודיע לה קצין מבית הסוהר כי היא עומדת להיות מוצאת להורג, והציע לה לבקש חנינה. היא סירבה ודרשה להגיש ערעור. בקשתה לא נענתה ועוד באותו בוקר הוצאה להורג בחצר בית הכלא הכלא. לפני מותה סירבה לכסות עיניה מול כיתת היורים. גופתה נקברה בבית הקברות היהודי בבודפשט  בסמוך לקבר אביה. קתרינה סנש שרדה את השואה ולאחר סיום המלחמה איתרה את הקבר של בתה והציבה עליו מצבת תבליט שיצר הפסל ההונגרי אנדרס באק. 

סיפור הגבורה של חנה סנש התפרסם בארץ ישראל והיא הפכה במהרה למופת ולסמל של גבורה והקרבה עצמית, שעליו התחנכו דורות. שיריה, ובראשם 'הליכה לקיסריה' ('אלי, אלי') ו'אשרי הגפרור', שהולחנו בשנת 1945 בידי דוד זהבי היו למעין המנונים המוכרים לכל. על שמה נקראה אוניית מעפילים 'חנה סנש' שהצליחה להבקיע את המצור הבריטי על חופי הארץ בליל ה-25 בדצמבר 1945 והביאה לחוף נהריה 252 מעפילים. בשנת 1946 יצא לאור הספר 'חנה סנש: חייה, שליחות ומותה' שכלל מבחר מפרי עטה: שירים, מכתבים, קטעי יומן ומחזה. הספר זכה לתפוצה נרחבת והודפס במהדורות רבות במהלך השנים. בשנת 1950 הקימה קבוצה של ניצולי שואה מהונגריה את קיבוץ יד חנה, שנקרא על שמה של חנה סנש. בשנת 1950 נחנך בקיבוץ שדות ים 'בית חנה סנש', שמטרתו להנציח את זכרה ולהנחיל את מורשתה. בשנת 1958 הועלה בארץ המחזה המצליח 'חנה סנש,' שחיבר אהרן מגד, אשר הכיר אישית סנש משהותם המשותפת בקיבוץ שדות ים. בשנת 1969 פרסם עודד בצר את ספר הילדים 'הצנחנית שלא שבה', אשר זכה להצלחה רבה והודפס במהדורות רבות. על חייה ומותה של סנש נכתבו מחזות נוספים, ספרים, והוסרטו מספר סרטים תיעודיים ועלילתיים. עשרות בתי ספר ורחובות ברחבי הארץ נקראים על שמה של חנה סנש.

במרץ 1950 הועלו עצמותיה של חנה סנש מהונגריה לישראל. ארונה יצא מבודפשט, הועבר דרך וינה לנמל טרייסט באיטליה ומשם הובל באונייה של חיל הים הישראלי אל נמל חיפה. המונים חלקו לה כבוד במהלך מסע ההלוויה שהתחיל ברחובות חיפה והסתיים בירושלים. בדרך נערכו טקסים בנמל חיפה, בעירית חיפה, בקיבוץ שדות ים, בתל-אביב ובבניין המוסדות הלאומיים בירושלים. בסופו של המסע  נקברה חנה סנש בטקס ממלכתי בבית הקברות הצבאי בהר הרצל, בחלקה מיוחדת שהוקדשה לשבעת צנחני הישוב שלא שבו משליחותם.

מספר שנים לאחר תום מלחמת העולם השניה נידונו שופטיה של סנש לתקופות מאסר שונות באשמת סיוע למשטר הנאצי. ביולי 1993 בעקבות בקשה רשמית של מדינת ישראל, התכנס בית הדין העליון של צבא הונגריה, והוציא פסק דין המזכה את חנה סנש מכל אשמה.

בנובמבר 2007, ביזמת משפחתה של חנה סנש, הועברה אבן התבליט ממצבתה של חנה סנש בבית העלמין היהודי בבודפשט והוצבה בסמוך לבית חנה סנש בקיבוץ שדות ים. המצבה הובאה בסיוע אגף ההנצחה במשרד הביטחון, והונחה בטקס צבאי ובהשתתפות בני המשפחה ואנשי ציבור.