נולד ב-2  באוקטובר 1910 במינסק שברוסיה (כיום - בלארוס). בנו של המחנך והסופר חיים-דוד רוזנשטיין ואחיו של  המילונאי והבלשן אברהם אבן שושן. קיבל חינוך חינוך עברי וכללי. היה פעיל באגודת נוער ציונית חשאית. בשנת 1925 עלה לארץ ישראל ולמד חקלאות בבית הספר החקלאי מקווה ישראל. עם סיום לימודיו הצטרף ל'קבוצת השדה'. בשנת 1930 התישבה הקבוצה בראשון לציון, הצטרפה ל'קיבוץ המאוחד' ועסקה בכיבוש העבודה העברית במושבה. בינואר 1937 עלתה הקבוצה על הקרקע בעמק בית שאן ובמסגרת התישבות 'חומה ומגדל' הקימה את קיבוץ שדה נחום.

בשנת 1931 נדפסו שיריו הראשונים בעיתון הנוער העובד 'במעלה'. המשיך לפרסם רשימות, שירה וסיפורת, בעיתוני הפועלים 'דבר' ו'על המשמר' ובעיתוני 'הקיבוץ המאוחד'. כמו כן פירסם קונטרס שירה 'בימי עלות', המוקדש לעלית קבוצת 'השדה' על הקרקע. במקביל  לכתיבה הרבה לעסוק בעריכה.  בשנים ת"ש-תש"ד ערך את הדו שבועון של 'הקיבוץ המאוחד' 'צרור מכתבים' ובשנים תש"ז-תש"ט את הרבעון 'מבפנים'. נמנה עם העורכים הראשונים בהוצאת 'הקיבוץ המאוחד'. בין היתר ערך את כתביהם של פניה ברגשטיין והמשורר יצחק קצנלסון, קבצים מספרות התנועה, ספרים של חברי קיבוצים וכן ספרי זיכרון לאישים ולקהילות ישראל שחרבו. 

שלמה אבן שושן מוכר בעיקר כמתרגם מעולה ופורה מאד. משנות החמישים ואילך תרגם מיצירותיהם של גדולי היוצרים היהודים שכתבו רוסית ויידיש, וכן מיצירותיהם של גדולי הספרות הרוסית. בין השאר תרגם את הספר 'אנשי פאנפילוב' מאת אלכסנדר באק וקבצי שירים של יבגני יבטושנקו, אוסיפ מנדלשטאם, אנה אחמטובה ומרינה צבטייבה. הוא גם יצר קשר אישי ראשוני עם כמה מהיוצרים היהודים בברית המועצות, בהם דב גפונוב, דוד מרקיש, כאשר קשרים כאלה עוד היו אסורים.

בשנת 2004 נפטר בקיבוץ שדה נחום.