נולד ב-27 בנובמבר 1906 ביקטרינוסלב שברוסיה למשפחה אמידה, מסורתית וציונית. למד בגימנסיה העברית בעיר הולדתו ובבית ספר טכני. בשנת 1923 החל ללמוד באקדמיה לאמנות במוסקבה, שם הצטרף לתנועת  'החלוץ' ועלה לארץ-ישראל בשנת 1925. בשנים 1928-1925 למד ב'בצלאל' בירושלים. בשנת 1929 התיישב בתל-אביב ולמד אצל יצחק פרנקל. הצטרף לקבוצת אמנים  שעזבו את הסטודיו לציור של פרנקל והקימו סטודיו משותף. בשנים 1930-1929 הציג את עבודותיו יחד עם קבוצת 'מסד'. קבוצה זאת ראתה עצמה כמייצגת הדור הצעיר של האמנים הארצישראלים ועם חבריה נמנו האמנים אביגדור סטימצקי, אריה ארוך, צבי שור, יוסף קוסונוגי, דוד הנדלר, מרדכי לבנון, וישראל פלדי.

בשנת 1930 הציג אבני תערוכת יחיד ראשונה בגימנסיה הרצליה וב'בית קסלמן' בתל-אביב. בשנים 1932-1930 שהה בפריז והשתלם באקדמיה 'גראנד שומייר'. לאחר שובו, בשנת 1932, החל לעבוד כאדריכל בעיריית יפו, לימד אדריכלות בטכניקום ומתמטיקה בבית הספר של קיבוץ גבעת השלושה. בשנת 1938 החל ללמד ציור ותולדות האמנות בבית ספר 'תיכון חדש' בתל אביב.

בשנת 1936 נערכה לאבני תערוכת יחיד ראשונה במוזיאון תל אביב. לאורך השנים הציג תערוכות יחיד בגלריות ובמוזיאונים בארץ ובחו"ל, וכן השתתף בתערוכות קבוצתיות רבות. הוא זכה בפרס ההסתדרות לשנת 1935 ובפרס דיזנגוף לאמנות הציור והפיסול מטעם עירית תל-אביב בשנים 1937 ו-1948.

במשך כל שנות יצירתו נשאר אבני נאמן לציור הפיגורטיבי. הוא שאב השראה ממגמות באמנות הצרפתית, בתחילה הושפע מקורו ומגוסטב קורבה, ומאוחר יותר ניכרו בעבודותיו השפעות של ציירי 'אסכולת פריז' היהודים. ציוריו משנות ה-30 של המאה ה-20 מתאפיינים בצבעים כהים ברוח האסכולה היהודית, ואילו בשלהי שנות ה-40 צבעיו מתחילים להתבהר ומשיכות מכחולו נעשות עזות ואקספרסיביות.

בשנת 1936 ייסד בתל-אביב את 'הסטודיה' - האולפן לציור ופיסול של ההסתדרות הכללית, יחד עם יחזקאל שטרייכמן ומשה שטרנשוס. אבני לימד ציור ותולדות האמנות של תקופת הרנסנס והעת החדשה וניהל את הסטודיה. לאחר מותו בגיל צעיר בשנת 1951, שונה שמו של המוסד ל'מכון אבני'.

בשנת 1948 ייסד בתל-אביב ביחד עם המחנך אליהו בילס גם את המדרשה למורים לציור (שפעלה מאוחר יותר  בהרצליה וברמת השרון וכיום נמצאת בבית ברל), שם התכוון ללמד ציור וחינוך אך נפטר זמן קצר לאחר-מכן.

אהרון אבני היה יותר מצייר ישראלי, הוא היה דמות של מחנך אמנותי, שהחינוך עמד בראש מעייניו. עם תלמידיו הרבים נמנים האמנים הבאים: מיכאל ארגוב, אסתר פרץ ארד, בוקי שוורץ, דני קרוון, דן קידר, עמוס אריכא ועוד.